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急増加関数の覚え書き(1/8更新)

順序数ω

非負整数列0,1,2,…を考える。

一般的にこの数列の極限は存在しない(発散する)が、ここでこの数列に極限が存在するとする。これを順序数ωとする。

ωはあらゆる自然数よりも大きい最小の順序数である。一般の正整数nに対してn<ωである。

 

順序数ω×n

ωより1大きい(すなわち後続の)順序数をω+1、そのさらに後続の順序数をω+2と定義すれば自然に新たな順序数列ω,ω+1,ω+2,…が与えられる。これの極限はω+ω、すなわちω×2に他ならない。さらに順序数列ω×2,ω×2+1,ω×2+2,…を考えるとω×3,ω×4と一般の正整数nに対して順序数ω×nが定義される。

 

順序数ω^n

順序数列0,ω,ω×2,…を考える。この順序数列はω×ω、すなわちω^2に収束する。さらに順序数列0,ω^2,(ω^2)×2,…を考える。これの極限はω^3となる。このように、一般の正整数nに対して順序数ω^nが定義される。また、ω^0=1とする。

 

順序数ω↑↑n

順序数列1,ω,ω^2,…を考える。この順序数列はω^ωに収束する。さらに順序数列ω,ω^ω,ω^ω^2,…を考える。この順序数列はω^ω^ωに収束する。このようにして一般の正整数nに対してω↑↑nが定義できる。

 

基本列

順序数は1つ前(簡単に言えば-1した)の順序数が存在する後続順序数、1つ前の順序数が存在しない極限順序数の二種類に分類される。ωは最小の極限順序数である。

任意の順序数αは次のように表されることが分かっている。

α=Σ[j=1→k]ω^(β_j) (ただし、m<nならばβ_m≧β_n)

順序数αの基本列とは、端的に言えば順序数αに収束するような順序数列である。任意の極限順序数αには基本列が一意に存在する。

 

基本列の求め方

以下順序数αの基本列の一般項をα[n]とする。

  1. α=Σ[j=1→k]ω^(β_j) (ただし、m<nならばβ_m≧β_n)ならばα[n]=α=Σ[j=1→k-1]ω^(β_j)+(ω^(β_k))[n]

  2. α=ω^(β+1)ならばα[n]=(ω^β)×n
  3. α=ω^βであり、βが極限順序数であるならば、α[n]=ω^(β[n])

 

実際に基本列を求める

ex.1)ω^2の基本列

ルール2より(ω^2)[n]=(ω^1)×n

                                =ω×n

ex.2)(ω^ω^6)+(ω^2)の基本列

ルール1より{(ω^ω^6)+(ω^2)}[n]=(ω^ω^6)+{(ω^2)}[n]

              =(ω^ω^6)+ω×n

ex.3)ω^ωの基本列

ルール3より(ω^ω)[n]=ω^(ω)[n]

                                 =ω^n

 

急増加関数をどうやってブログ内で表現すれば良いのでしょうか?